Logik - Sprache - Empirie Buchkatalog

Während eine wissenschaftstheoretische Grundlegung der Mathematik traditionell im Kontext formal-logischer Systeme gesehen wird, lassen sich konkrete Erscheinungsbilder mathematischen Agierens nur eingeschränkt im Rahmen formaler Regelsysteme beschreiben: Praktische Untersuchungen zeigen, dass Denkprozesse vielfach auf "inhaltliche" Vorstellungen bezogen sind, weisen die Prozesse tatsächlich eine "formale" Orientierung auf, geht ihre wissenschaftliche Beschreibung über die Sprache der Kalküle hinaus. In diesem Buch werden Möglichkeiten aufgezeigt, neben "formalistischen" Ansätzen auch kognitionswissenschaftliche Gesichtspunkte in eine metatheoretische Analyse einzubeziehen. Grundlegend werden hierbei "Denkprozesse" als mentale Repräsentationen von Operationsformen aufgefasst, die auf real-physische Objektkonfigurationen bezogen sind. Die begriffliche Evaluation gegebener Objekträume legt das Modell einer "empirischen Semantik" nahe, das sich für verschiedene Gebiete der Schul- und Elementarmathematik als bedeutungsvoll erweist: Prozesse des Konzepterwerbs und des Problemlösens lassen sich als Formen der Wissensakquisition verstehen, die im Grundsatz mit Evaluationsprozessen in anderen empirischen Wissenschaften vergleichbar sind. Im Hauptteil des Buches werden die entwickelten Methoden zur Analyse mathematischer "Konsistenzphänomene" eingesetzt: Mathematische Operationsformen erweisen sich in der Praxis als vielfältig aufeinander bezogen, bei der Lösung arithmetischer Aufgaben etwa kommen durch Einsatz unterschiedlicher Methoden i.a. keine voneinander differierenden Ergebnisse zustande. Die Signifikanz dieser Beobachtung ergibt sich insbesondere durch den Umstand, dass einzelnen Verfahrensweisen eigenständige Konfigurationsräume und voneinander differierende Prozessformate zugeordnet sind. Während sich klassische Methoden der Konsistenzanalyse auf "Formalisierungen" relevanter Objekttheorien, d.h. mathematische Strukturen innerhalb einer geeigneten Metatheorie, richten, ist der Gegenstand der vorliegenden Analyse die "empirische" Realität der Mathematik in ihrer vollen methodischen Breite, d.h. die Gesamtheit tatsächlich zu beobachtender Verhaltens- und Verfahrensweisen. Im Focus der Betrachtungen stehen dementsprechend tatsächliche Praktiken mathematischen Agierens, die in vielfältigen Formen des Wertens, Konstruierens und Konzepterwerbs eine Rolle spielen. Die vorgenommene Analyse zeigt, dass relevante Konsistenzaussagen im Rahmen betrachteter Prozesse i.a. weiter zurückverfolgt werden können: sie betreffen nicht nur eventuelle Verfahrensergebnisse, sondern ggf. auch deren konstituierende Komponenten. Die vorgestellte Methode etabliert eine Zuordnung, die nicht nur "punktuelle" Interpretationen zulässt, sondern den Charakter einer tieferen Systementsprechung hat, in deren Rahmen sich umfassendere Hierarchien relevanter Teilprozesse strukturkonform aufeinander abbilden lassen. Die Ergebnisse zeigen, dass die Einordnung "konsistenter Erfahrungen" in einem konzeptionellen Zusammenhang mit Postulaten einer "absoluten" Gegenstands- und Erfahrungswelt steht, die etwa im Kontext von Theorien zum "hypothetischen Realismus" eine Rolle spielen. Dabei wird deutlich, dass konfluente Erfahrungen zur Existenz einer "objektiven" Entsprechung faktisch äquivalent sind: Prädisponierende Faktoren lassen sich aus einem Gefüge konsistenter Erfahrungen heraus rekonstruieren. Dieser grundlegende Zusammenhang wird auch von den Besonderheiten des hier vorliegenden Untersuchungsgegenstandes gespiegelt. Inbezug auf die unklare Referenzlage "abstrakter" mathematischer Konzepte bzw. platonistische Auffassungen in der Mathematik ist diese Aussage von besonderer Signifikanz. Im Gesamtblick erweisen sich die betrachteten semantischen Ansätze als vielschichtig und komplex: Objekt- und metatheoretische Konzepte sind in vielfältiger Weise miteinander verwoben. Die Methode "inhaltlicher" Interpretationen ist in besonderer Weise geeignet, metatheoretische Sinnkonzepte aus einem Gefüge objekttheoretischer Beziehungsstrukturen heraus zu definieren, sie offenbart, dass sich "Designate" und "Designanden" in vielfältiger Weise berühren und genuin-inhaltliche Konzepte auch Sensualisierungen auf formal-syntaktischer Ebene nahestehen.